混沌开始之处，经典科学就终止了。——《混沌：开创新科学》
这篇文章我会写得非常长并讨论很多点，因为只有这样才能更好地理解邓煜的证明有多么重大的意义。
王虹和邓煜是在第20届ICM（International Congress of Mathematicians，国际数学家年会）上获得了菲尔兹奖。
官方给出的他俩的获奖理由是：
王虹：王虹因其在调和分析和几何测度理论方面的工作而荣获2026年菲尔兹奖，其中包括将多尺度和解耦技术应用于平面波动方程的局部平滑猜想，以及在傅里叶限制、Falconer距离集、平面上的Furstenberg集和三维Kakeya（挂谷）问题方面取得的重大进展。
（我上一篇文章只介绍了她在挂谷问题上的成就，因为那是我唯一还能看懂的。）
邓煜：邓煜因其在偏微分方程领域的工作而荣获2026年菲尔兹奖，其中包括从稀薄气体的硬球动力学中严格推导玻尔兹曼方程，从非线性色散系统中推导波动动力学方程，以及非线性薛定谔动力学的概率方法。
今天我接着试图讲讲邓煜证明了什么。
希尔伯特の野望
1900年的第二届ICM上，伟大的数学家希尔伯特应邀发表演讲，他没有沉醉于总结过去数学获得的成就，而是列出了23个问题，并指出，这些是数学家们未来100年可以努力出成绩的方向。
这23个问题中，有一些已经完全解决（证明或者证伪）。有些部分解决但获得重大进展，比如第8题：
黎曼猜想（没有重大进展，“沦为”热梗来源）、哥德巴赫猜想（1973年陈景润证明“1+2”）、孪生素数猜想（2013年张益唐证明上界不超过7千万）。
希尔伯特对”公理化“有着十分的执念——这不能怪他，因为1900年的时候，无论是数学界还是物理学界——尤其是物理学界——都是信心满满，普遍的想法是“大厦已经完成。后续100年的工作无非是在小数点后6位展开”，“只有两小朵乌云还盘踞在我们上空”。
在这样的前提下，不应该期待去重新写数学、写物理，而是应该将这些基于古典时代诞生的学科奠定最牢固的基础：公理体系，从而真正地形式化这些学科，使之牢不可破。
（我们当然知道，这个“妄念”错得多离谱：没过多少年，相对论（1905年狭义，1915年广义）、量子力学（1920年代）横空出世，整个物理学需要被重写。）
在数学领域，这个工作有很大的进展。希尔伯特、策梅洛、戴德金都是其中做出卓越贡献的人物。
虽然物理学不等于数学，但是两者之间的关系密切，许多物理学上的概念可借由数学来明确化，而数学上有一些东西的灵感也是来自于物理学的研究，微积分就是最著名的例子，因此大卫·希尔伯特认为能使用数学上公理化的概念来将物理学给“公理化”。
但希尔伯特也知道，同样的公理要求对于物理学来说，难度更大。因此在他的第6个问题中，对此进行了弱化，只要求“处理物理中数学占有重要成分的分支；其中的第一层是几率论和力学……关于几率论的公理，我认为，对其逻辑的搜寻，应当要伴随着在数学物理的平均值方法方面精确且令人满意的发展，特别地要在气体动力论方面有这样的发展……波兹曼在力学原理方面的研究显示说，数学地发展限制过程的问题，可从原子层次观点出发发展出连续体运动定律。”1
三个不同的尺度
从古典力学出发，每个气体粒子都可以被看作一个刚性的小球，遵守最古典的牛顿力学，特别是其中的牛顿第二定律：$F=ma$。
从理论上说，只要我们知道每个粒子的初始速度和位置，我们就能计算出这每个粒子在任意时间的速度和位置。但问题在于，粒子的数量太多了，一摩尔气体中的粒子数量已经高达$10^{23}$数量级，这是无法计算的。
于是，玻尔兹曼这位伟大的物理学家决定采用统计方法来计算：我们不用知道每个粒子的性质，我们只考虑作为整体的这团气体，会有什么可被观察到的性质。这个方程也许没有爱老师的方程（$E=mc^2$）那么出名，但也很漂亮，值得写出来：
$\frac {\partial f}{\partial t}+\frac{p}{m} \cdot \nabla f + F\cdot \frac{\partial f}{\partial p}=(\frac{\partial f}{\partial t})_{coll}$
玻尔兹曼方程还没有到宏观的层级（海浪、湍流），因此我们还需要知道宏观流体力学的终极公式，也是韦神在钻研的方程：纳维-斯托克斯（NS）方程：
$\rho \frac{Dv}{Dt}=\nabla \cdot P+\rho f$
就是这么一个看着非常简单的方程，可以描述世间所有的一切流体。
因此，我们有了三个方程描述古典力学下的三个不同尺度：牛顿第二定律（微观）- 玻尔兹曼方程（介观）- NS方程（宏观）。
根据希尔伯特第6问题的要求，我们必须能在这三个方程间建立起牢固的证明过程。
所幸的是，已经有人从玻尔兹曼方程推出不考虑黏性的流体方程：欧拉方程，而此人正是希老师自己；之后，英国数学家查普曼又加入黏性，从而推出NS方程。因此，希尔伯特第6问题的两个阶段中的后一个阶段（从玻尔兹曼方程到NS方程）已经解决。只留下了更艰难的第一个阶段。
第一阶段最大的挑战在于：玻尔兹曼假设（分子混沌假设）空气中两个分子在碰撞之前是两两独立的；但牛顿力学规定，一旦出现碰撞，这两个分子就有了相关性，从而不能从本质上保证这两个分子在后续碰撞发生之前还是“独立”的（实质上是相关的）。
证明的关键在于，证明我们可以忽略这种相关性，或者说这种相关性对后续碰撞虽然带来误差，但这个误差还是可以忽略。
从兰福德到邓煜
1975年，美国数学家兰福德证明：确实是如此。但他的证明有一个重要的不现实性。他证明，从牛顿出发到玻尔兹曼，推导有效的时间只有百万分之一秒，因此不具有任何实际的物理意义。
如果我们稍微看一下这两个阶段中出现的三个方程，会发现：
- 玻尔兹曼方程和NS方程都有时间因素，因此非常强地指明了“时间箭头”（熵增）。但牛顿方程是没有时间箭头的：一段影片播放时是小球从静止开始不断加速，倒着放是小球从某个速度开始运动不断减速直到静止。但这两个所谓的“方向”没有任何意义，因为无论正放还是倒放影片，我们看到的都是正确的物理现象。我们从牛顿出发到NS方程，会在第一步的时候引入一个“时间不可逆”的东西。
- 牛顿力学虽然精确，但不可测；玻尔兹曼方程和NS方程总体可测。这里有一个“混沌到有序”的突破。
邓煜最终证明，从古典力学出发的微观层面，可以严格地推导出玻尔兹曼方程。牛顿第二定律带来的相关性“干扰”，随着时间的推移，不会越来越大，而一定会被约束到一个数学上可以忽略的量。
学术的说法是：
- 核心突破在于：利用概率偏微分方程（随机张量）与高阶费曼图分析，证明了当无数个微观量子波碰撞交织在一起时，复杂的微观相干性在大样本极限下发生了自发的“退相干”（随机相位相互抵消）。
- 从极短时间延伸至任意长时间。他们巧妙地控制了混沌带来的数学发散，严格证明了微观的非线性波演化在极限下必定收敛为宏观平滑的波动力学方程（WKE）与玻尔兹曼方程。
（肾上写到此处，掩卷长叹：这上面两段，明明都是中文，每个字肾上也认识。但加在一起，肾上竟然不知道是在说啥！）
因此，邓煜完成了希老师第6问题中最困难也是最迷人的阶段的证明。仅此而言，他获奖就是实至名归。
更深入的思考
如果NS方程可以完美地求解任意流体（包括气体）的状态（压强、温度、流速……），那么长期天气预报为什么还是注定失败？
我肯定无法准确知道苏州14天后的最高温度，但我有100%的信心说，那一天的最低温度不可能降到零下20度。
也许是作为玩笑话说的：“一只蝴蝶在北京扇动翅膀，引起了纽约的一场暴风雨”，到底有什么深刻的含义？
《三体1》中的科学家们努力计算何时脱水、何时灌水，为什么算不准？
（蝴蝶效应最具象的图示，正式名字叫作洛伦兹吸引子。）
将我们所处的整个物理世界以及描述这个物理世界的规则视作一幢宏伟的大厦，那么如果地基是歪的（微观的量子随机），演化又是不可控的（介观的混沌效应），为什么我们所处的世界，反而呈现出如此坚固、平滑且可预测的秩序？
概率与混沌——被物理定律“锁死”的微观与中观
爱因斯坦坚信“上帝不掷骰子”，但海森堡的”不确定性原理“（俗称”测不准原理“）（$\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$）打破了这个幻想。微观粒子的位置与动量无法同时精确测定，随机性与波动性是物理世界的底色。
作为从一所刚庆祝完建校130年的大学的宇宙第一系毕业的我，流体力学是必修课，其中的纳维-斯托克斯方程是我几乎没学会的方程。但我知道它对初始条件极其敏感，极微小的误差（比如一只蝴蝶扇动翅膀），随时间推移都会呈指数级放大，导致单条轨道的长期预测注定失败。
既然从一开始就测不准，于是带来误差，于是混沌介入将其放大，最终还能有什么确定性啊！
微观到宏观以及它们的法则隐藏在黑暗之中。
上帝说：让邓煜来搞一搞！
于是一切豁然开朗。
（声明：这里我模仿了蒲柏为牛顿写的墓志铭。但绝没有咒邓老师的意思。）
邓煜说：Veni, Vidi, Probavi!（我来，我见，我证！）
用比较哲学的观点一句话说明邓煜的证明就是：
微观的不确定性与介观的混沌，非但没有摧毁宏观世界，反而恰恰是宏观世界涌现出稳固秩序与时间箭头（熵增）的必要条件！
我将邓煜的证明加以合理拓展，就会得到这样一个结论：
上帝确实在微观世界中掷骰子，但祂不会“一直”掷下去。
数学上，退相干让统计规律从混沌中浮现；社会里，个体自由让自组织秩序从碰撞中涌现。两者共享同一个深层逻辑。
其重要的哲学意义
熟悉我的读者知道，我是“自组织”的拥趸。看完邓煜证明的要点，我想到一个也许很不成熟的类比：
- 你永远无法预测下一次掷骰子具体是几点（微观随机/混沌），但只要掷了 100 万次，每个点数出现的概率一定是 1/6，赌场老板就能凭此稳赚不赔（宏观确定的统计秩序）。
- 你永远无法预测一个人的具体行为，因为微观个体都有自由意志、情绪与随机性（测不准），局域的社交碰撞充满偶然。但80亿人交织在一起，社会并没有塌缩，而是自发涌现出了语言、市场、城市与文化结构。
这个证明给予如下的哲学/社会洞察以坚实的数学基础：
给微观以自由（不确定性），宏观借由相互作用，自然会结出秩序（自组织）的果实。
我们同时证明：
上帝不会一直掷骰子。在微观的混沌深处，数学早已为宏观宇宙写好了无比坚固的秩序底牌。
（爱老师和玻尔老师泉下有知，可以结束争吵了。）
以及：
宏观世界不需要上帝。
很多人以为，要维持宏观社会的秩序，就必须把微观上的每个人都变成精准受控的“机械齿轮”。
邓煜的证明告诉我们：相位的随机化与退相干，是导出宏观平滑方程的前提。
如果微观分子全部步调一致（绝对相干），系统反而会产生恐怖的发散和爆破。
一个社会，从不需要微观上的绝对控制。正是因为每个人拥有“测不准”的自由与差异，亿万次随机碰撞产生的退相干，才为整个文明冲淡了局部风险，涌现出无比坚固的自组织秩序。
这就是我所认为的，邓煜的证明为我们带来的最根本的意义。
相关文章
- 引文链接：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B8%8C%E7%88%BE%E4%BC%AF%E7%89%B9%E7%AC%AC%E5%85%AD%E5%95%8F%E9%A1%8C ↩
Leave a Reply