王虹和邓煜双双获得菲尔兹奖，这两天刷屏无数。可惜的是——也许是因为我水平很低，所以——我得到的推送的东西水平也很低。很多帖子根本没讲到点子上，甚至讲错了。
所以，肾上决定不揣冒昧，凭着自己的一些微薄理解，做一些相对较正确一点的解读。
本篇先说王虹的证明。后续会再写一篇关于邓煜的证明。
王虹的证明
王虹证明的是挂谷猜想（Kakeya Conjecture）。挂谷猜想来自于挂谷问题——一个看起来简直就像是脑筋急转弯的问题：
过去的武士须随时随刻防备敌人的偷袭,进厕所时也刀不离身。一位武士在上厕所时遭到敌人袭击，矢石如雨，而他只有一根短棒，为了挡住射击，需要将短棒旋转一周360°（支点可以变化）。但厕所很小，应当使短棒扫过的面积尽可能小。面积可以小到多少？
1919年，贝西科维奇解决了这个问题，他采用了非常卡bug的方式，证明，这个面积可以无限小！
具体推导这里不做展开，只说一点：要将一根线段平移到一个位置，可以先水平直线移动足够长的距离，然后转一个角度$\theta$，移到要平移到的位置，再反向转一个$\theta$即可。平移没有任何面积的产生，因此这根线段扫过的面积只和$\theta$有关。只要$\theta$足够小，扫过的面积就是无限小。
（Image Credit：https://www.youtube.com/watch?v=Z5RKT8oIrLI&t=1882s）
所以，数学家们不再考虑移动，只考虑旋转，并定义了挂谷集：
对于长为1的单位线段，使其旋转并包含平面中所有的方向，这些点的集合就是挂谷集。
问题来了，以2维为例，这样的一个点集合，其维度是多少？1维肯定放不下，但如果说是2维，毕竟它没有面积！
（这个有点长得像一棵树的怪玩意儿叫佩龙树，它是一个满足挂谷问题的点集合。它虽然面积为0，但显然不是一个1维的图形。）
挂谷猜想
挂谷猜想（Kakeya Conjecture）：在n维空间中的任何挂谷集的豪斯多夫维度都等于 $n$。
什么是豪斯多夫维度？它来自我们普通理解的维度，但可以处理分形。
我们先看最常见的1维、2维、3维。
对于1维的一条线段，如果我们用1/2的长度来构造这根线段，需要两根这样的1/2的与原来线段相似的线段。因此$log_2 2=1$，线段是一维的。
对于2维的一个正方形，如果我们用1/2的长度来构造这个正方形，需要4个与原来正方形相似的小正方形。因此$log_2 4=2$，所以正方形是2维的。
对于3维的一个正方体，如果我们用1/2的长度来构造这个正方体，需要8个小正方体。因此$log_2 8=3$，所以正方体是3维的。
总结一下就是：
- 原始图形的自相似部分与原始图形的长度比为$a$。
- 需要$b$个自相似部分构成原始图形。
- 这个图形的维度就是$log_a b$。
这些都是平凡的例子。我们来看一个典型的分形维度：柯赫曲线。
在这里，需要$b=4$个自相似的小图形构成原始图形（不是直线，是经过一次变化后的柯赫曲线），而每个小图形的长度是原来的1/3，因此柯赫曲线的豪斯多夫维度就是$log_3 4 \approx 1.262$。这表明柯赫曲线比1维的直线更高维，但不到2维——因为柯赫曲线再怎么重复，都有一个面积的上限，也就是在一个有限的面积中，可以放下一根无限长的线！）
一维和二维的挂谷猜想已经被证明。王虹这次证明的是，在3维空间中的挂谷集是严格的3维！
这个证明有着重要的数学意义和现实意义。这个证明本身也许很抽象，知道3维空间中的挂谷集是3维不会对日常生活有任何影响。但王虹在这个过程中用到的、创立的数学方法，对各个领域都会带来极大的革命性作用。因此，她获得菲尔兹奖实至名归。
延伸一下
第一眼看到王虹的经历，我自然地将她和张益唐联系了起来。两人的相同之处在于，都大大推动了一个著名猜想的证明：挂谷猜想以及孪生素数猜想。
不同的是，两人的博导对他们产生了完全不同的影响。王的博导Larry Guth对她显然是正推动，而张的博导显然对张起了负推动，逼得老张在塞饱胃和其他一些显然不是学术机构的地方打了好几年的零工。
天才不多但也不少。真正少的，是环境。
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