这几天用我自己弄的阅读器又看完了一本书《Measurement》。
这本书说简单很简单：只讨论数学中涉及测量的部分，如何求长度、面积、体积，以及速度——连加速度都没有讲。而这些都是我们日常生活中随时都要用到的测量工作。
说复杂也很复杂：从古希腊人采用的最朴素的“穷举法”（“逼近法”）开始，引入了很多先贤的解题方法和思路，最终到了微分、积分领域，而且以我之前从来没有学到过的思路，解释了伟大的莱布尼兹所发明的伟大的算子$dx$的真正意义和作用。
这本书读着很有趣，也会让人去思考。
上个月的菲尔兹奖获得者中，有两位来自中国。不出我所料，网上的讨论分成了两个基本的阵营：一边认为中国的基础教育为两人打下了扎实的基础；一边认为海外的环境和更高层次的教育才是出成果的基础。
大家知道我的，我很不愿意加入这样的讨论。尽管看不懂，但我更愿意去了解他们的工作，去想象去体会他们工作中的“美”，并为能给我们带来这样美的两位人物致以敬意。
之前在网上也看到不少评论，讨论的是《线性代数》的教学，基本的反馈都是：
- 看看Gilbert Strang的教材吧，比XX大学的教材好了100倍。
- 如果我当年学的是Strang的教材，我也不至于挂在了这棵“树”上！
因此，如果我们假设数学本身作为一个“东西”，就存在于那里，而不同的教材、教师，就是对它进行加工的“操作”，那么这个东西以怎样的最终形式呈现给我们、我们对它的理解和应用能到怎样的程度，基本上就是由“操作”决定的。
比如，在本书快结束的时候，谈到了如何求双曲线（$xy=1 \Leftrightarrow y=\frac{1}{x}$ ）在$x \in [1, w]$区间内与$x$轴所包围的面积。
（学过微积分的同学自然知道，这个面积可以用积分来算，而且公式不算复杂：$A(w)=\int_1^w \frac{1}{x}dx$）
作者没有急于给出答案。他先提醒我们，这个积分看着简单，但它的解却无法写成代数公式——是一个超越解。
然后，作者继续描述这个$A(w)$的特性，比如：$A(ab)=A(a)+A(b)$，也就是这个积分或者说“面积”的计算中隐含了一个重要的特性：它将乘法转换为了加法——而加法比乘法简单多了……
然后，作者进一步表述$a^x$，表明$a^x$这个函数和$A(w)$函数有同样的特性，因为$a^x \cdot a^y=a^{x+y}$，并将指数推广到了实数范围。
（与此同时，他指出了Napier首先推出的对数表的重要作用。）
最后，他在引入自然对数的时候，自然而然地将其定义为我们之前看到的$A(x)$。因此，一个抽象的、之前从未出现过的操作（求一个正数的对数）被赋予了严格的意义。
（有了自然对数，自然可以定义自然指数。）
因此，有了这么个公式：$d(\log_{10}{x})=\frac{1}{\log 10}\frac{dx}{x}$。而为了去掉那个难看的$\frac{1}{\log 10}$，我们引入$e$这个常量，而$A(e)=1$。$e$没有一个精确值，也没法用代数式来表示，但有一个精确的定义。
于是，$\int \frac{1}{x} dx = \ln x$。一个漂亮到不像话的公式出现了。
我们也许都了解过$e=\lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^x$的定义，用的是无限复利的概念。但说老实话，这是我第一次从几何意义——也是更基本的意义上理解了$e$。
虽然我在看这一长段的论述时，头很晕，但“头晕”不就是“脑力”震荡的最佳结果么？
物理（或者“物质”）世界很美妙，数学世界很美妙。作者在描述他对这两个世界的看法时，说了这么一段非常好的话：
The point is I get to have them both—physical reality and mathematical reality. Both are beautiful and interesting (and somewhat frightening). The former is important to me because I am in it, the latter because it is in me.
（我试着翻译一下）
要点在于，我有幸同时拥有这两者——物理现实和数学现实。两个都那么美丽、那么有趣、也有一些令人敬畏。它们对我都如此重要：吾居其中，其驻吾心。
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