哥德尔的马孔多

如果有一个人，能破译出这世上最神秘的密码，他会有怎样的结果？

不知怎地，这让我想起《百年孤独》的结尾：

就在奥雷连诺. 布恩蒂亚译完羊皮纸手稿的最后瞬刻间，马孔多这个镜子似的（或者蜃景似的）城镇，将被飓风从地面上一扫而光，将从人们的记忆中彻底抹掉，羊皮纸手稿所记载的一切将永远不会重现，遭受百年孤独的家族，注定不会在大地上第二次出现了。

科特·弗里德里希·哥德尔（Kurt Friedrich Gödel ）生于1908年，卒于1978年，是一位伟大的数学家、逻辑学家。

我第一次接触到哥德尔，是在我大一或者大二的时候。我的一位同学买了一本名为《这本书叫什么》的书。这本书从最最简单的“（永远说真话的）君子（永远说假话的）小人岛”开始，最终将我们导向了哥德尔那伟大的定理。之后，我又看了《没有时间的世界》，这本书讲述了爱因斯坦和哥德尔那了不起的友情，以及哥德尔对广义相对论的研究（及作为结果的哥德尔宇宙）。

最近，承蒙中信编辑孔老师赠书——其实是我厚颜讨书，但读书人的事，怎么能说“讨”呢！——我又看到了这本《哥德尔传》。

受人一书，当以一篇书评报之。于是就有了这些文字。

希尔伯特の野望

上个世纪初，物理学界沉醉在一种终极的梦想之中：有关物理的发现已经差不多到尽头了，除了“在物理学阳光灿烂的天空中漂浮着两朵小乌云”之外，剩下来留给物理学家们的工作，只是更精确地定义一些物理常量“小数点后6位”的数值了。后来发生的事情，大家都知道了。

而在数学界，似乎也充斥着同样乐观的心情。

德国数学家大卫·希尔伯特（1862.01.23——1943.02.14）在1920年代提出了一个数学计划，一个关于公理系统相容性的严谨证明的计划。他乐观地认为，这个计划是如此地具有前景、如此地触手可及。哪天这个计划成功后，之后的数学工作将完美无缺地构建在这个公理系统之上，数学将成为一个完备、自洽的系统，牢牢地树立起“学科之王”的、不可被撼动的地位。

希尔伯特说过一句令人震撼的名言：Wir Mussen Wissen, Wir Werden Wissen（我们必须知道，我们必将知道）。他完全有资格如此自信。

一个数学系统的完备性意味着，在这个系统中，通过预设的一些公理，我们可以导出所有的真命题而不会有遗漏。

一个数学系统的自洽性意味着，根据这些公理，这个系统不会导出自相矛盾的命题，也就是不可能证明A和~A都为真。

所有到那时为止的数学成就无不都在加强着这个断言。

哥德尔出人意料的一击

1931年，23岁的哥德尔也在努力地向着希尔伯特指明的方向前进，但是他给我们带来的却是最出乎意料的结果。

哥德尔通过巧妙的构造，严格地证明：

任何自洽的形式系统，只要蕴涵皮亚诺算术公理，就可以在其中构造在体系中不能被证明的真命题，因此通过推理演绎不能得到所有真命题（即体系是不完备的）。（哥德尔第一定理）

以及：

任何逻辑自洽的形式系统，只要蕴涵皮亚诺算术公理，它就不能用于证明其本身的自洽性。（哥德尔第二定理）

（这两个定理的描述有很多不同的形式，我用的是维基百科词条中的文字。）

有关这个证明的纯粹数学过程基本超出了绝大多数读者的数学水平，但有关这个证明的一个有趣的过程，可以在《这本书叫什么》中找到。

与哥德尔定理相关的还有一个数学梦想，也由希尔伯特提出，那就是：证明数学的可确定性，即存在一种判定过程，来确定任意给定数学命题的真伪。

如果存在这么一个判定过程，那么所有的数学命题就不需要证明了，我们只要讲这个数学命题放入这个过程跑一遍，只要过程能够终止，我们马上就能得到这个数学命题的真伪。

1936年春， 图灵从哥德尔定理出发，证明不存在这样的一个判定过程。从某一个角度出发，这个结论才是”自然“的；不然，数学证明就变成一个纯粹的机器程序了。

希尔伯特的梦想在短短几年间就破碎了。

单凭这个成就，哥德尔就已经牢牢树立起在逻辑学和数学界的地位。他被霍金认为是有史以来最伟大的21位数学家之一，与笛卡尔、牛顿、欧拉、拉普拉斯、傅里叶、高斯、黎曼等人并列。（见霍金编纂的《上帝创造了整数》。）

哥德尔对连续统假设的贡献

这还没完。

哥德尔又向连续统假设进行了挑战。

连续统假设（英语：Continuum Hypothesis，简称CH）是数学中一个猜想，也是希尔伯特的23个问题的第一题。它由康托尔提出，有关无穷集的可能大小。它可以表述为：

不存在一个基数绝对大于可数集而绝对小于实数集的集合。

所有自然数的集合当然是可数的（但它是个无穷集合）。略略违背直觉的是，所有的分数（有理数）也是可数的：因为我们可以建立起所有自然数和所有分数间的一一对应关系（数学名词为“等势”）。这样的集合的基数为$\aleph {0}$（读作“阿列夫零”）。但是，实数集合却比自然数更不可数，因为我们可以用康托尔采用的“对角线”法证明，实数的个数严格地比自然数更多！（也因此，实数集合的基数是$\aleph {1}$。）

哥德尔在1940年证明连续统假设与ZFC的相对协调性（无法从ZFC出发被证伪）。1963年，科恩证明连续统假设不能由ZFC推导，也就是说连续统假设独立于ZFC。简单地说，连续统假设在ZFC体系中，有它没错，没它也行。

（ZFC是一套数学公理的集合，目前被广泛采用。）

这同样是一个了不起的成就。

哥德尔对广义相对论的研究

如前述，哥德尔和爱因斯坦是一对好朋友。爱因斯坦曾经说过：我自己的工作没啥意思，我来上班就是为了能有荣幸同哥德尔先生一起散步回（普林斯顿的）家。

1949年，哥德尔通过对广义相对论的研究，得到了一个满足其方程的精确解，而这个精确解对应的宇宙被称为“哥德尔宇宙”。

哥德尔宇宙（Gödel universe）有一个令人无法想象的性质：在这个宇宙中，时间旅行是内置的特性。这是因为在这个宇宙中，时间被扭曲成了一个闭环。

如果套用地理概念来说，就是我们在地球表面行走，每一步都“似乎”走的是直线，但最终我们会回到起点。

未来即过去，过去即未来。时间已经没有了任何意义：物理上的、哲学上、玄学上的。

部分基于此，哥德尔在1951年获得了爱因斯坦奖。

《没有时间的世界》这本书就是很透彻地讲了这段经历，有兴趣的读者不妨去看看这本书。

哥德尔的晚年

和爱因斯坦一样，在早早地到达人生最高峰后，剩余的人生就只能是平淡了。

但和爱因斯坦不一样的是，哥德尔远远不是一个开朗不羁的人物。

在他生命的最后时段，他陷入被迫害妄想。按照医生的判定，因为害怕有人害他，在食物中投毒，他是把自己给活活饿死了的。

哥德尔的研究的很大部分，和我们日常的生活没有任何关系。

2017年10月15日，我看完《再见卡西尼号，你好土星》后，在豆瓣上留下这么一段短评：

知道土星的日长到底是多少，对我们又有怎样的意义？只要它不影响我进行某宝，某滴，不影响即将来到的双XX，不影响我去关注某某的新女朋友，就没有任何意义。对吧？

这一段评论同样可以用在哥德尔身上。

（卡西尼号最后回望地球的照片。来自：https://solarsystem.nasa.gov/resources/17656/cassinis-last-view-of-earth/）

20世纪三个最伟大的定理/原理都是“否定性的”。

爱因斯坦的广义相对论否定了绝对时空；海森堡的不确定性原理否定了“真实可以被感知”；哥德尔的不完备定理否定了数学的“妄想”。

21年5月我和一位书友（“药师”）聊天，他当时（以及现在）正在从哈特曼出发，试图构建自己的基于形式化公理的价值体系。他在听我扯完哥德尔后，问我：

那我在钻的Formal Axiology形式化价值体系还有没有继续研究的必要？
换句话说，伽利略+罗素式的努力（在价值领域）是否必要？如无，升级版可能是什么呢？

我的回答是：

当然有意义。形式化数学虽然失败，但数学并未失败。而且，目前数学的目前的形式过程和结果，是有效且有益的。哥德尔和图灵在这方面对罗素的打击，其实是一种回归，避免一种在形而上中很危险的举动。他们给出了边界和缺陷，但从不否认数学形式化的意义和重要性。

那么我们应该怎么做？我的建议是：

1. 从一个小小的现成的系统出发；
2. 跳出这个小系统，观察这个小系统存在的元规则；
3. 演绎之；
4. 接触更多的较大的系统，并判断它们是否符合2/3的结论。于是会有两种情况：
   1. 绝大多数系统都是符合的，那么很好，你在切换到较大的系统时不会有任何问题；
   2. 绝大多数系统都是不符合的，那么还会有两种情况：
      1. 你决定抛弃自己的小系统，而开始思考这些较大系统的元规则，从而顺利地自我否定，进入到一个全新的领域；
      2. 你觉得坚守自己的小系统，那么也没啥，但也许你会很痛苦，因为你时刻地在和与你的系统不“兼容”的系统在对抗，还要时时说服自己，自己的系统才是正确的。这种情况不会没有，但不多。

行文至此，再次感谢中信赠书，更希望这篇书评能让诸位亲爱的读者有一些更深的思考。