自从费马之后,数学家都调皮了起来

自从费马(Pierre de Fermat,1607/10-1665/1/12)于1637年在一本书的留白之处写下那句著名的断言后,数学家们都开始调皮起来。

1993年6月,数学家怀尔斯(Andrew Wiles)证明了费马大定理,数学家们“调皮”的机会少了一个——但不用着急,他们还有一个调皮的机会:黎曼猜想。据可靠消息来源,数学家们坐在飞机上、轮船里却突遭紧急情况、性命堪忧的时候,他/她就会问空乘人员要来纸笔,写下:“我已经证明了黎曼猜想。可惜这张纸太小,我更没有时间写下我的证明。”

言归正传,今天我在Twitter上看到这么一则消息

如果这是真的,那么我真的有幸在有生之年看到黎曼猜想的证明了!
=====================
1. 黎曼其人
黎曼(Georg Friedrich Bernhard Riemann,1826/9/17-1866/7/20)是一位伟大的德国数学家。我们可能更熟知他发明的黎曼几何——爱因斯坦广义相对论的几何基础。只可惜,他只活了40岁不到。已故的霍金在《上帝创造了整数》这本书中,这样写道:

黎曼实在死得太早。我们只能这样问自己:要是黎曼能活到——按照圣经的说法——三个二十加十年的寿命,他是不是能做出他这一与他齐名的猜想的严格证明。也许我们能活到见证黎曼猜想的证明。如果我们真的那么幸运,那么我们也不应该奇怪,如果证明的根源来自黎曼划时代的论文本身。

2. 黎曼猜想
黎曼于1859年入选柏林科学院。为了庆祝他的入选,黎曼写了唯一一篇数论方面的论文,题为《论小于一个给定量的素数数量》。毫无疑问,他对这个话题的兴趣源自15年前他还是隆伯格中学学生时读到的勒让德的《数论》一书。正是在这篇论文中,出现了著名的黎曼猜想。
勒让德和高斯都猜想,π(x)函数——计算所有小于x的素数数量的函数,渐近地逼近Li(x)(即π(x)/Li(x)→1,当x越来越大的时候),而
$$Li(n)=\int_2^n\frac{dx}{ln(x)}$$
在这篇“代表了数学最高级别技巧的里程碑式”的论文中,黎曼将Zeta函数表示为:
$$\zeta (s)=\prod_p\frac{1}{1-p^{-s}}$$
(具体的过程请参见我的维基:http://rsywx.com/doku.php/gcti:15.riemann)
在写作过程中,黎曼随手写下了一个注释:

很可能所有(对应ζ(x)函数)的根都是实数。当然,我们应该有更严格的证明。同时,在经过一些短暂而无果的尝试后,我暂时先将这个问题的研究放一放。

(如果f(x)=0,则x是函数f(x)的根。ζ(x)函数的根是实数,当且仅当Zeta函数的一个根是实部为1/2的复数。)
Zeta函数的根的值决定了π(x)和Li(x)之间差异的量级。“所有Zeta函数的根其实部都等于1/2”这个假设成为了“黎曼猜想”。
黎曼发表他素数分布的论文后的几十年间,数学家们一直在奇怪他是怎么得到“Zeta函数的所有零点必定有实部为1/2”这个猜想的。论文既没有给出黎曼如何得到这个猜想的线索,也没有给出任何知道Zeta函数零点必然实部为1/2的基础。有些数学家只是认为黎曼有了一些美妙的洞见。
1900年,希尔伯特在国际数学家大会上的演讲中,将黎曼猜想作为他23个问题中的第8个。希尔伯特信心十足的认为黎曼猜想可以在10年左右时间内得到证明。黎曼猜想抵挡住了所有破解它的尝试,希尔伯特修正了这个预测。1943年他逝世前不久,有人问希尔伯特,如果他在500年后重生,他想问的第一个问题是什么。这位大数学家立即回答道,我会问:“黎曼猜想有人证明了吗?”
这个猜想在一个世纪后还是没被证明。如今不管是谁证明或者反证了这个猜想,都有1百万美元的奖金。但是没人指望它被反证。数学家们已经证明,至少40%的根必定实部等于1/2。事实上,前15亿个已知解其实部都等于1/2。但这个猜想还是没有被证明。
3. 关于素数的其他一些伟大的证明
如今的小学生在数学课上就会接触到素数。但素数的性质一直是数学家探索的话题。近期比较热的关于素数的讨论比较集中在“孪生素数”上。
华裔数学家张益唐在2013年4月17日证明,存在无数多的素数对,其间隔不会大于7000万(N)。他是第一个证明素数之间间隔的最小值存在一个确定上限的人。从此之后,数学家们开始了疯狂地“刷上限”行动,目前的成果是,在特定条件下,这个N的上限已经被压到了6!

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *