0. 序言
思客读书会的几位书友在我的鼓动下，开始阅读《GEB》（全名：哥德尔、艾舍尔、巴赫——集异璧之大成）。作为始作俑者，我自然也应该通读一遍。
这本书是我2012年11月购入的，买来后看完了上半部，下半部一直没有动。这次趁此机会重读上半部、再读完下半部，也算是给自己一个交代，完成一本大部头的书。
1. 谁是中心？
如果非要我说的话——而且也是一个显然的结论——那应该是哥德尔。
科特·哥德尔（Kurt Gödel，1906-1978），是一位“有史以来最伟大的数学逻辑学家，当然也是最疯狂的一个”（霍金语），爱因斯坦的好基友（他俩的故事可以参见《没有时间的世界》）。
我们可以有很多方式去表达一个概念，哥德尔选择了最冷酷、最直接（当然是在数学家眼中）、因此也是最不可辩驳的方式：他用数学语言，证明了人类到他那时为止（以及所有未来可能产生）所知的足够强的系统——也就是说在通常意义上还能被称为“系统”——的不完备性。
为了帮助我们更好地理解哥德尔，侯世达引入了埃舍尔和巴赫。
文字、绘画、音乐（在本书中是印在书上的曲谱），哪个对我来说最直接、哪个又最不直接？
对我个人来说，文字是最直接的，曲谱是最不直接的——这当然是因为我的音乐修养很不够。因此，我很难从侯爷对巴赫音乐的描述中得到很直观的感受，从而帮助我理解概念。
绘画在某种程度上也是如此。
所以，我才说哥德尔是本书的核心。
2. 导读文献
我推荐两本书，一本是《上帝创造了整数》》，一本是《这本书叫什么？》。
第一本书由霍金编纂，节选了在数学发展史上最伟大的21位数学家的31篇最重要的文章。霍金同时为每位数学家写了一个简短的生平与成就的前言。
God Created The Integers这句话出自德国数学家Leopold Kronecker，也是他最广为人所引用的一句话，全文为：
Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk
上帝创造了整数，而其它都是人做的工作。
阅读这本简史，可以对数学的发展有一个基本了解，了解数学如何从基本的欧式几何一直发展到图灵的可判定性证明。
同时，这本书也对哥德尔以及图灵的成就进行了简单的介绍，而这两位老兄也是GEB中的重要角色——虽然图灵出场不多，但他确实是AI的核心人物。
第二本书完全可以被认为是一本从头（君子小人岛）开始推导出哥德尔定理的书——当然略去了众多数学细节。只要你对数学感兴趣、对逻辑感兴趣、对GEB感兴趣，就应该读一读这本书，从而了解哥德尔定理的基础，并由此对哥德尔生出由衷的敬意。
3. 让我们先导出哥德尔定理
（注：以下摘录的文字都来自我自己随手翻译的《这本书叫什么？》，完整译文请移步此处。）
3.1 君子小人（+常人）岛
一个古老的问题：有三个居民：A、B、C正站在一个花园里。一个过路人走过并问A：“你是一位君子还是一位小人？”A作了回答，但是含含糊糊。过路人听不清A说了什么。过路人接着问B：“A说了什么？”B回答道：“A说他是个小人。”这时，第三个人C说道：“别听B的。他在撒谎！” 问题是，B、C是哪类人？
（答案：B是小人，C是君子，A不明。）
这回有三个人：A、B、C。其中有一位君子、一位小人、一位常人（不一定就是按照ABC的顺序哦）。他们做了如下的陈述：
A：我是常人。
B：他说的对。
C：我不是常人。A、B、C是哪类人？
（答案：A是小人，B是常人，而C是那位君子。）
这几个问题不难，稍作推理应该就能得到答案。这些问题之所以不难，是因为它们都在陈述一个非自指的陈述，而且陈述背后的“事实”很明确。
3.2 鲍西娅的首饰盒之谜
鲍西娅一世的谜题：
| 金 | 银 | 铅 |
|---|---|---|
| 肖像在这个盒子里。 | 肖像不在这个盒子里。 | 肖像不在金盒子里。 |
鲍西娅对求婚者说明，这三句话中，最多只有一句是真的。
求婚者该选择哪个盒子？
（金盒子和铅盒子上的陈述是互相矛盾的，所以其中之一肯定是真的。既然这三个陈述中最多只有一个为真，那么银盒子上的陈述肯定为假。所以，肖像实际上在银盒子里。）
注意：这里的“最多只有一句是真的”的陈述，不在（三个盒子构成的）“系统”里。
鲍西娅（三世）的谜题：
| 金 | 银 | 铅 |
|---|---|---|
| 匕首在这个盒子里。 | 这个盒子是空的。 | 这三个盒子中最多有一个是贝里尼制造的。 |
（假定铅盒子是贝里尼造的，那么上面的陈述为真，因此其它两个盒子必定是切里尼造的。这意味着其它的陈述都是假的，特别是银盒子上的陈述为假，所以匕首在银盒子里。因此，如果铅盒子是贝里尼的作品，银盒子里藏着匕首。
现在假定铅盒子是切里尼打造的，那么上面的陈述为假，所以至少有两个盒子是贝里尼制作的。这意味着金盒子和银盒子都是贝里尼的盒子（因为我们假定铅盒子是切里尼的）。所以金盒子和银盒子上的陈述都为真，特别是金盒子上的陈述为真。所以，在这个情况下，匕首放在金盒子里。
不论哪种情况，匕首都不会在铅盒子里，所以求婚者应该选择铅盒子。）
注意：鲍西娅并没有给出额外的判定条件，但还是给出了足够多、完全不矛盾的信息。这里的“判定条件”藏在了“系统”的内部，但还是隐含地引用了外部的“事实”——一个盒子要么是贝里尼制作的，要么就是切里尼制作的！
鲍西娅（N世）的谜题：
| 金 | 银 | 铜 |
|---|---|---|
| 匕首在这个盒子里。 | 这个盒子是空的。 | 这三个陈述中最多有一个是真的。 |
这三个陈述和三世的谜题是不是非常相似？但却有一个重大的问题。你发现了吗？
3.3 哥德尔的伟大发现
让我们跳过若干步骤，直接来到哥德尔的伟大发现。
在某座岛G上住着永远讲真话的君子和永远讲假话的小人。不仅如此，有一些君子被称为“定位君子”（在某种意义上说，是那些“身份已经明确”的君子），有一些小人被称为“定位小人”。岛上的居民构成各式各样的俱乐部。一个居民有可能属于多个俱乐部。给出任一居民X和任一俱乐部C，X要么声明他是俱乐部C的成员，要么声明他不是。
我们有下面四个条件，E1，E2，C，G：
E1：所有定位君子的集合构成一个俱乐部；
E2：所有定位小人的集合构成一个俱乐部；
C（互补条件）：给出任一俱乐部，所有不是C的成员的居民集合构成他们的俱乐部。这个俱乐部称为C的补，记为C’。
G（哥德尔条件）：给出任一俱乐部C，岛上至少有一个居民声明他是该俱乐部成员。（当然，他的声明可能是假的，因为他可以是个小人）。
（仿哥德尔）
(i) 证明岛上至少有一个未定位的君子。
(ii) 证明岛上至少有一个未定位的小人。
按照条件E1，所有定位君子的集合E构成一个俱乐部。因此按照条件C，岛上所有未定位的君子的集合E’也构成俱乐部，再按照条件G，岛上至少有一个人声明他是E’俱乐部的成员，换句话说，他声明他是一个未定位的君子。
小人不可能这么声明他不是个未定位的君子（因为小人不是定位君子这个陈述为真），因此说话者必定是个君子。既然他是个君子，那他说的是实话，所以他不是个定位君子。所以说话者是君子，但不是个定位君子。
按照条件E2，所有定位小人的集合构成一个俱乐部。因此（按照条件G）岛上至少有一个人声明是个定位小人（他声明他是定位小人俱乐部的成员）。此人不会是个君子（因为没有君子会声称他是任何哪一类的小人），所以他是个小人。因此他的陈述为假，他不是个定位小人。这意味着他是小人，但不是定位小人。
如果我们进行一次“同构”，很容易就想到：未定位的君子就是一个没法证明的定理。
在哥德尔的构造中，这是一个类似“这个命题无法被证明”这样的陈述。
哥德尔摧毁了希尔伯特的“梦想”。
4. 图灵做了什么
既然一个足够强的系统必然包含明确为真，但无法证明的定理，我们是否可以设计一个过程来判定一个定理是否可以得到证明？
1928年，德国数学家希尔伯特——这位在世的最伟大的数学家向数学界重新提出了三个他最早在1900年巴黎国际数学家大会上提出的问题：
- 证明所有的真数学命题可以被证明，即数学的完备性。
- 证明只有真数学命题才可以被证明，即数学的一致性。
- 证明数学的可确定性，即存在一种判定过程，来确定任意给定数学命题的真伪。
1934年末，图灵得知哥德尔已经证伪了前两个挑战。现在还留下第三个挑战。图灵开始解决这个问题。他从1935年春开始，一直到1936年春结束。为了研究这个问题，他需要为判定过程这个概念下一个精确的定义。他需要将其形式化。也许是受到小时候对打字机的兴趣的影响，图灵通过将判定过程概念用机器——即我们现在所知的图灵机——来表述而完成这点。图灵开始解决这个问题。他从1935年春开始，一直到1936年春结束。
简单来说，图灵用康托证明实数集合比自然数集合“大”时用到的对角线方法证明了，不存在判定过程。短短六年间，哥德尔和图灵粉碎了希尔伯特的梦想。
5. 哥德尔的伟大之处
哥德尔的定理是一个“否定性”的定理，它不告诉我们能做什么，而是告诉我们不能做什么。20世纪三个重大的定理（相对论、不确定、不完备）都在某种程度上是否定性的。
哥德尔的伟大之处，在于“限定”。
6. 回到GEB
讲了这么多，终于可以回到GEB这本书本身了。
作者写作这本书，花了太多的心思。就拿《螃蟹卡农》来说，文字的组织到了中文中“回文”的境界，而且是在那么长的篇幅中！
侯爷从哥德尔出发想得到什么结论或者给我们怎样的启示？
从最早的一位克里特岛人说“克里特岛的人都是小人”开始，所有的陈述以及断言都在表述这样的一个事实：我们的思维、逻辑、以及认知能力存在着缺陷——而这正是哥德尔证明了的。
在本书的第一部分，侯爷介绍了为其主要论文奠定基础的基本概念。 它从通过简单、机械的替换规则定义形式系统开始，最终发展为TNT，这是一种等效于皮亚诺算术的形式系统。 在此过程中，它提出了有关如何以摆脱人类沙文主义的方式定义意义和真理的问题，以便我们可以制定所有智慧生物都应该同意的定义。
侯爷通过研究一种语言来讨论不同抽象级别的计算机和大脑，从而进入第二部分。 在这里，他还开始发展他的核心论点，即自我表征形成意识的种子。
（Link: https://medium.com/@alokpuranik1/thoughts-on-hofstadters-geb-3b89a0dc3ff1）
我们知道，自指正是引起麻烦的根源。
在我翻译的《缠绕的意念》一书中，作者也认为自指确实就是意识产生的原因。因此如果我们要进入AI、智能机器的领域就必须解决这个“机器”自指的问题。哥德尔似乎在这个问题上为我们设置了限制，但是也提出了发展的方向。
人既然能对这样的一个contradiction处之泰然，并且（按照侯爷的说法）没有理由认为高层的人脑活动会违背最底层（神经元）的类似机械操作，那么我们就有理由乐观地认为，一个类似人脑的机制可以被重制出来。
当然，这样的一个机制其所表现出来的“模式”的“意义”可能不是我们人类目前所能理解的。2017年，FB的两个AI聊天机器人说着说着，就开始说起人类无法理解的语言。于是FB的研究人员决定将这两个AI宕机——由此可见，人类是多么害怕机器！
也就在2021年，DeepMind公司的电脑首次参与了“从零开始提出一个全新猜想这种工作”。
这些最新的进展，在40年后在某种程度上证明侯爷的乐观和坚定是有一定的道理的。
去年5月的时候，我和读书会的一位书友（“药师”）聊天。当时（以及现在）他正在从哈特曼出发，试图构建自己的基于形式化公理的价值体系。不过当时他应该还没有接触到哥德尔（以及GEB），所以在我和他（简要地）说到形式化数学体系必然失败后，他的问题是：
那我在钻的Formal Axiology形式化价值体系还有没有继续研究的必要？
换句话说，伽利略+罗素式的努力（在价值领域）是否必要？如无，升级版可能是什么呢？
我的回答是：
当然有意义。形式化数学虽然失败，但数学并未失败。而且，目前数学的目前的形式过程和结果，是有效且有益的。哥德尔和图灵在这方面对罗素的打击，其实是一种回归，避免一种在形而上中很危险的举动。他们给出了边界和缺陷，但从不否认数学形式化的意义和重要性。
也因此，我拉他入坑了GEB，并衷心希望他能从GEB出发，更美地构建属于自己的体系。
7. 对洞穴问题的解答
某天，读书会群里讨论到了柏拉图著名的“洞穴”问题。一位书友在最后提出了这样一个问题：
我之前对这个问题的思考，除了要去到洞外，山谷外，大陆以外，星球以外的延伸性。更重要的一点在于，如果我是被说服的人，我要如何去相信看见火把并走出过洞穴外的人？因为我从小就被“束缚”（身体和心智），只看到影子，影子是真实的存在，认知和经验都告诉我，这是真实的。我怎么打破这个局面去相信少数人的说法，跟随他的脚步？
我当时没有回答，因为我希望他也被我拉进坑，去看GEB，因为我觉得在GEB中一定会有这个问题的答案。
现在我看完GEB了，发现我的感觉没有错。
既然一个足够强的系统——包括柏拉图提出的“洞穴”（不妨称为“小系统”）、以及走出去的人发现的“系统”（不妨称为“大系统”）在内——都不能保持完备，那么我们怎么相信那个走出去的人发现的“系统”？这是书友的问题。
对此我的回答是：思考一下（通过走出去的人转述的）大系统，它是不是能：
- 简单地、基本地解释小系统；并且
- 合理地（合乎逻辑地）衍生更多小系统内无法衍生、但根据与小系统不冲突的原则乃至从小系统中可以合理升华的更高层原则可以衍生的现象。
如果从物理学中找一个类比，那可以是牛顿力学和爱因斯坦力学的类比。我们就是这样，扬弃了牛顿而拥抱了爱因斯坦。
我们构建自己的思想，也应该如此：
- 从一个小小的现成的系统出发；
- 跳出这个小系统，观察这个小系统存在的元规则；
- 演绎之；
- 接触更多的较大的系统，并判断它们是否符合2/3的结论。于是会有两种情况：
- 绝大多数系统都是符合的，那么很好，你在切换到较大的系统时不会有任何问题；
- 绝大多数系统都是不符合的，那么还会有两种情况：
- 你决定抛弃自己的小系统，而开始思考这些较大系统的元规则，从而顺利地自我否定，进入到一个全新的领域；
- 你觉得坚守自己的小系统，那么也没啥，但也许你会很痛苦，因为你时刻地在和与你的系统不“兼容”的系统在对抗，还要时时说服自己，自己的系统才是正确的。这种情况不会没有，但不多。
行文至此，我觉得我可以用《百年孤独》结尾的一段话来结束这篇书评：
就在奥雷连诺. 布恩蒂亚译完羊皮纸手稿的最后瞬刻间，马孔多这个镜子似的（或者蜃景似的）城镇，将被飓风从地面上一扫而光，将从人们的记忆中彻底抹掉，羊皮纸手稿所记载的一切将永远不会重现，遭受百年孤独的家族，注定不会在大地上第二次出现了。
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